Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4；
（1）求函数f（x）的表达式；  
（2）若g（x）=f（

π

6

-x），求函数g（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式化简，通过周期求出ω，通过函数的最值，列出方程，求出函数的解析式即可．
（2）利用g（x）=f（

π

6

-x）求出函数的解析式，利用正弦函数的单调性，求出函数的单调区间即可．

解答：解：（1）∵f(x)=asinωx+bcosωx=

a2+b2

sin(ωx+φ)，又周期T=

2π

ω

=π
∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)=4
∴

a2+b2 =4 asin π 6 +bcos π 6 =4

得：

a=2 b=2 3

∴f（x）的解析式为f(x)=2sin2x+2

3

cos2x
（2）∵g(x)=f(

π

6

-x)=4sin[2(

π

6

-x)+

π

3

]=4sin(-2x+

2π

3

)=-4sin(2x-

2π

3

)，
∴g（x）的增区间是函数y=sin(2x-

2π

3

)的减区间
∴由2kπ+

π

2

≤2x-

2π

3

≤2kπ+

3π

2

得g（x）的增区间为[kπ+

7π

12

，kπ+

13π

12

]（k∈Z）
（等价于[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]）．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，两角和与差的正弦函数，二倍角的正弦，考查计算能力．