练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    如图所示，A为椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴时，恰好AF1∶AF2＝3∶1．

    (1)求该椭圆的离心率；

    (2)设＝λ1，AF2＝λ2，试判断λ1＋λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

    答案：
    解析：

    　　解：(1)当AC垂直于x轴时，|AF1|∶|AF2|＝3∶1．

    　　由|AF1|＋|AF2|＝2a，得|AF1|＝，|AF2|＝．

    　　在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋(2c)2，

    　　所以()2＝()2＋(2c)2，由此解得e＝．

    　　(2)由e＝，则＝＝＝，b＝c，焦点坐标为F1(－b，0)，F2(b，0)，则椭圆方程为＋＝1，化简得x2＋2y2＝2b2．

    　　设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

    　　①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为y＝(x－b)，代入椭圆方程有(3b2－2bx0)y2＋2by0(x0－b)y－b2y02＝0．

    　　由韦达定理，得y0y2＝，

    　　所以y2＝．

    　　所以λ2＝＝＝，同理，可得λ1＝＝，故λ1＋λ2＝＝6．

    　　②若直线AC⊥x轴，x0＝b，λ2＝1，λ1＝＝5，

    　　∴λ1＋λ2＝6．

    　　综上所述，λ1＋λ2是定值6．

    　　解析：本题在解决过程中要注意充分利用椭圆的定义以及向量与相关的线段长度间的关系，从而将问题解决．


    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M（3，1）．平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），且交椭圆于A，B两不同点．
    （1）求椭圆的方程；
    （2）求m的取值范围；

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，已知椭圆C：x2+
    y2
    a2
    =1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=
    		a2-1
    与椭圆C相交于P，Q两点，且满足
    AP
    •
    AQ
    =
    a2(a+c)2-1
    2-c2
    ．
    （1）试用a表示m2；
    （2）求e的最大值；
    （3）若e∈（
    1
    3
    ，
    1
    2
    ），求m的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图所示：已知椭圆方程为
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，A，B是椭圆与斜轴的两个交点，F是椭圆的焦点，且△ABF为直角三角形．
    （1）求椭圆离心率；
    （2）若椭圆的短轴长为2，过F的直线与椭圆相交的弦长为
    3
    2
    		2
    ，试求弦所在直线的方程．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：全优设计选修数学－1-1苏教版 苏教版 题型：044

    如图所示，A为椭圆＝1(a＞b0)上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴时，恰好AF1∶AF2＝3∶1．

    (1)求该椭圆的离心率；

    (2)设，试判断λ1＋λ2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案