Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在实数，使，求实数的范围.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）

【解析】

（1）求导，分类讨论即可求得单调性情况；（2）分a＝0，a＜0及a＞0三种情况讨论即可求得实数a的取值范围．

（1）函数的导函数为，

当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，，有，不符合题意；

当时，由（1）知，

由在单调递增，且知，

①当时，由（1）知，

此时恒成立，不符合题意；

②当时，，

（预备：很容易证明，而，

所以，，即，

所以，.）

由，

有，即.

所以存在，使得满足题意.

当时，由（1）知，

由在上单调递减，且知，

当时，恒成立，不满足题意；

当时，，

（预备：很容易证明，而，

所以，，即，

所以，.）

由，

有，即，

所以存在，使得满足题意.

综上所述，的取值范围为.