Question

【题目】已知函数与的图象关于点对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；

（3）若函数在上是单调减函数，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由题意可得出，进而可求得函数的解析式；

（2）令，得，则问题等价于直线与函数的图象有两个交点，作出函数与直线的图象，利用数形结合思想可求得实数的取值范围；

（3）任取、且，可得出，进而得出，求出的取值范围，由此可解得实数的取值范围.

（1）在函数的图象上任取一点，

则该点关于点的对称点在函数的图象上，

所以，，；

（2）令，得，

则问题等价于直线与函数的图象有两个交点，

，

由双勾函数的单调性可知，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和，

函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和，

作出函数与直线的图象如下图所示：

由图象可知，当或时，直线与函数的图象有两个交点，

因此，实数的取值范围是；

（3）由（1）知，，

任取、且，即，

则，

，则，，

所以，

，，则，，即，

，解得.

因此，实数的取值范围是.