Question

【题目】已知函数.

（1）若，求的极大值；

（2）证明：当时，在恒成立.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见详解.

【解析】

（1）对函数求导，令导数为零，划分函数的单调区间，根据单调性即可求得函数的极大值；

（2）对参数进行分类讨论，要证在区间恒成立，即证恒成立；故而在参数的不同情况下，求得函数的最小值，通过证明函数的最小值大于等于零，从而证明恒成立.

（1）当时，

故，

令，解得，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故的极大值为.

（2）因为，

故可得

因为，故；

故①当时，，则在区间恒成立，且不恒为零，

则在区间上单调递增，

则>0

故当时，在区间上恒成立；

②当时，令，解得，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则

令，

则，则，

因为，故

即可得在区间上恒成立，

故在区间上单调递减，

则，故在区间上恒成立，

则在区间上单调递减，

则，

也即函数在区间上恒成立，

故当时，恒成立.

也即时，在区间上恒成立.

综上所述：当时，在区间上恒成立.

即证.