【题目】如图,已知点F为抛物线C:(
)的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,且当直线l的倾斜角为45°时,
.
(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于x轴对称?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在唯一的点
,使直线PM,PN关于x轴对称
【解析】
(1)当直线l的倾斜角为45°,则的斜率为1,则直线方程为
,联立直线与抛物线方程,利用韦达定理可得
,根据焦点弦公式
,求出
的值,即可得到抛物线方程.
(2)假设满足条件的点P存在,设,当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为
(
),联立直线与抛物线方程,消元,列出韦达定理,因为直线PM,PN关于x轴对称,所以
,即可求出
的值. 当直线l与x轴垂直时,由抛物线的对称性,易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可.
解:(1)当直线l的倾斜角为45°,则的斜率为1,
,
的方程为
.
由得
.
设,
,则
,
∴,
,
∴抛物线C的方程为.
(2)假设满足条件的点P存在,设,由(1)知
,
①当直线l不与x轴垂直时,设l的方程为(
),
由得
,
,
,
.
∵直线PM,PN关于x轴对称,
∴,
,
.
∴,
∴时,此时
.
②当直线l与x轴垂直时,由抛物线的对称性,
易知PM,PN关于x轴对称,此时只需P与焦点F不重合即可.
综上,存在唯一的点,使直线PM,PN关于x轴对称.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C经过M(1,3),N(4,2),P(1,﹣7)三点,且直线l:x+ay﹣1=0(aR)是圆C的一条对称轴,过点A(﹣6,a) 作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长度为_______.
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【题目】为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=8.01,附表如下:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确的结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
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【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.
为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上异于
的两个动点,直线
与直线
分别交于
两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)若与
的面积之比为
,求
的坐标;
(III)设直线与
轴交于点
,若
三点共线,求证:
.
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【题目】已知椭圆:
的焦距为
,点
在椭圆
上,且
的最小值是
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知动直线与圆
:
相切,且与椭圆
交于
,
两点.是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在全国第五个“扶贫日”到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行”的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.甲镇有基层干部60人,乙镇有基层干部60人,丙镇有基层干部80人,每人都走访了若干贫困户,按照分层抽样,从甲、乙、丙三镇共选20名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成,
,
,
,
5组,绘制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求这20人中有多少人来自丙镇,并估计甲、乙、丙三镇的基层干部走访贫困户户数的中位数(精确到整数位);
(2)如果把走访贫困户达到或超过35户视为工作出色,求选出的20名基层干部中工作出色的人数,并从中选2人做交流发言,求这2人中至少有一人走访的贫困户在的概率.
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【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
我们将其结论推广:椭圆
的点
处的切线方程为
在解本题时可以直接应用,已知直线
与椭圆E:
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设O为坐标原点,过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线,且
与
交于点M
①设,直线AB、OM的斜率分别为
,求证:
为定值;
②设,求△OAB面积的最大值.
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【题目】嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右,嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道,如图中轨道③所示,其近月点与月球表面距离为公里,远月点与月球表面距离为
公里.已知月球的直径为
公里,则该椭圆形轨道的离心率约为
A. B.
C.
D.
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【题目】在信息时代的今天,随着手机的发展,“微信”越来越成为人们交流的一种方法,某机构对“使用微信交流”的态度进行调查,随机抽取了100人,他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表:(注:年龄单位:岁)
年龄 | ||||||
频数 | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
赞成人数 | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
(1)若以“年龄45岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的列联表,并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”?
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
(2)若从年龄在,
调查的人中各随机选取1人进行追踪调查,求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中
.
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