【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.
为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上异于
的两个动点,直线
与直线
分别交于
两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)若与
的面积之比为
,求
的坐标;
(III)设直线与
轴交于点
,若
三点共线,求证:
.
【答案】(I)(II)
的坐标为
或
.(III)见解析
【解析】
(Ⅰ)由题意得c=1,结合离心率求得a,再由隐含条件求得b,则椭圆方程可求;(Ⅱ)由△PAF与△PMF的面积之比为,可得
.设M(4,m)(m≠0),P(x0,y0),则
,求得
.将其代入
,解得m=±9.则M的坐标可求;(Ⅲ)设M(4,m),N(4,n),P(x0,y0),分析可得m≠0,n≠0.直线AM的方程为
.联立直线方程与椭圆方程,利用根与系数的关系求得P的坐标,利用利用对称性证明若P,F,Q三点共线,则∠MFR=∠FNR.
(I)由题意得解得
因为,所以
.
所以椭圆的方程为
.
(II)因为与
的面积之比为
,
所以.
所以.
设,则
,
解得.
将其代入,解得
.
所以的坐标为
或
.
(III)设,
若,则
为椭圆
的右顶点,由
三点共线知,
为椭圆
的左顶点,
不符合题意.
所以.同理
.
直线的方程为
.
由消去
,整理得
.
成立.
由,解得
.
所以.
所以.
当时,
,
,即直线
轴.
由椭圆的对称性可得.
又因为,
所以.
当时,
,
直线的斜率
.
同理.
因为三点共线,
所以.
所以.
在和
中,
,
,
所以.
因为均为锐角,
所以.
综上,若三点共线,则
.
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【题目】如图,在平行四边形中,
于点
,将
沿
折起,使
,连接
,得到如图所示的几何体.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点在线段
上,直线
与平面
所成角的正切值为
,求三棱锥
的体积.
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【题目】在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c且ccosA=4,asinC=5.
(1)求边长c;
(2)著△ABC的面积S=20.求△ABC的周长.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为,过点
的直线l的参数方程为
(为参数),直线l与曲线C交于M、N两点。
(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程:
(2)若成等比数列,求a的值。
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【题目】若冬季昼夜温差x(单位:)与某新品种反季节大豆的发芽数量y(单位:颗)具有线性相关关系,根据一组样本数据
,用最小二乘法近似得到回归直线方程为
,则下列结论中不正确的是( )
A.y与x具有正相关关系
B.回归直线过点
C.若冬季昼夜温差增加,则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗
D.若冬季昼夜温差的大小为,则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗
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【题目】如图,已知点F为抛物线C:(
)的焦点,过点F的动直线l与抛物线C交于M,N两点,且当直线l的倾斜角为45°时,
.
(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM,PN关于x轴对称?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】现代城市大多是棋盘式布局(如北京道路几乎都是东西和南北走向).在这样的城市中,我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离(位移),而是实际路程(如图).在直角坐标平面内,我们定义,
两点间的“直角距离”为:
.
(1)在平面直角坐标系中,写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.(格点指横、纵坐标均为整数的点)
(2)求到两定点、
的“直角距离”和为定值
的动点轨迹方程,并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.(在以下三个条件中任选一个做答)
①,
,
;
②,
,
;
③,
,
.
(3)写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标,并说明理由(格点指横、纵坐标均为整数的点).
①到,
两点“直角距离”相等;
②到,
两点“直角距离”和最小.
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