【题目】已知a是实数,函数.
(1)若,求a的值及曲线
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数在区间
上的单调性.
【答案】(1),
;(2)见解析.
【解析】
(1)化简并对其求导,由
的值构建方程,求得a,进而由点斜式表示切线方程;
(2)对求导,令
,表示两根,利用分类讨论含参数的根所在区间,从而得其导函数的正负关系,即原函数的单调性对应增减.
(1),
,
则,
,
,
,
因此,曲线在点
处的切线方程为
,即
;
(2),
,
令,得
,
.
①当时,即当
时,对任意的
,
,
此时,函数在区间
上单调递增.
②当时,即当
时,
此时,当,则
;
当时,
.
此时,函数在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
③当时,即当
时,对任意的
,
.
此时,函数在区间
上单调递减.
综上所述,当时,函数
在区间
上单调递增;
当时,函数
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增;
当时,函数
在区间
单调递减.
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【题目】设P是椭圆上一点,M,N分别是两圆(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 ( )
A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12
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【题目】为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=8.01,附表如下:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确的结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
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【题目】在交通工程学中,常作如下定义:交通流量(辆/小时):单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数;车流速度
(千米/小时):单位时间内车流平均行驶过的距离;车流密度
(辆/千米):单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的,
和
满足一个线性关系,即
(其中
是正数),则以下说法正确的是
A. 随着车流密度增大,车流速度增大
B. 随着车流密度增大,交通流量增大
C. 随着车流密度增大,交通流量先减小,后增大
D. 随着车流密度增大,交通流量先增大,后减小
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【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.
为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上异于
的两个动点,直线
与直线
分别交于
两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)若与
的面积之比为
,求
的坐标;
(III)设直线与
轴交于点
,若
三点共线,求证:
.
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【题目】已知椭圆:
的焦距为
,点
在椭圆
上,且
的最小值是
(
为坐标原点).
(1)求椭圆的标准方程.
(2)已知动直线与圆
:
相切,且与椭圆
交于
,
两点.是否存在实数
,使得
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】教材曾有介绍:圆上的点
处的切线方程为
我们将其结论推广:椭圆
的点
处的切线方程为
在解本题时可以直接应用,已知直线
与椭圆E:
有且只有一个公共点.
(1)求的值;
(2)设O为坐标原点,过椭圆E上的两点A、B分别作该椭圆的两条切线,且
与
交于点M
①设,直线AB、OM的斜率分别为
,求证:
为定值;
②设,求△OAB面积的最大值.
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【题目】某快餐连锁店招聘外卖骑手,该快餐连锁店提供了两种日工资方案:方案①:规定每日底薪50元,快递业务每完成一单提成3元;方案②:规定每日底薪100元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单提成5元.该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据,将样本数据分为,
,
,
,
,
,
七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)随机选取一天,估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率;
(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案①,丙、丁选择了日工资方案②.现从上述4名骑手中随机选取2人,求至少有1名骑手选择方案①的概率;
(3)若从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
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