【题目】如图,在平行四边形中,
于点
,将
沿
折起,使
,连接
,得到如图所示的几何体.
(1)求证:平面平面
;
(2)若点在线段
上,直线
与平面
所成角的正切值为
,求三棱锥
的体积.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)取中点
,以
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系,利用向量的数量积为零证明
,即可得出
平面
,从而可得结论;(2)过
作
,垂足为
,连接
,则
,可得
平面
,由此
为直线
与平面
所成的角,利用正切值为
求出
到平面
的距离,代入体积公式即可得结果.
(1)∵BE⊥AE,DE⊥AE,BE∩DE=E,
∴AE⊥平面BCDE,
以E为坐标原点,以ED,EB,EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图:
则A(0,0,1),B(0,1,0),C(2,1,0),D(1,0,0),
设AC的中点为M,则M(1,,
),
∴=(0,
,
),
=(0,1,-1),
=(2,0,0),
∴=0,
=0,
∴DM⊥AB,DM⊥BC,
又AB∩BC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,
∴DM⊥平面ABC,
又DM平面ACD,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)过P作PN⊥BE,垂足为N,连接DN,
则PN∥AE,∴PN⊥平面BCDE,
∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角.
设PN=x,则BN=x,故EN=1-x,∴DN=,
∴tan∠PDN==
=
,解得x=
,即PN=
.
∵BD==
,CD=AB=
,BC=2,
∴BD2+CD2=BC2,∴BD⊥CD.
∴S△BCD==1,
∴三棱锥P-BCD的体积V=S△BCDPN=
=
.
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【题目】已知点,
是圆
上的一个动点,
为圆心,线段
的垂直平分线与直线
的交点为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设与
轴的正半轴交于点
,直线
与
交于
两点(
不经过
点),且
,证明:直线
经过定点,并写出该定点的坐标.
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【题目】(本题满分12分)
今年十一黄金周,记者通过随机询问某景区110名游客对景区的服务是否满意,得到如下的列联表:
性别与对景区的服务是否满意 单位:名
男 | 女 | 总计 | |
满意 | 50 | 30 | 80 |
不满意 | 10 | 20 | 30 |
总计 | 60 | 50 | 110 |
(1)从这50名女游客中按对景区的服务是否满意采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中满意与不满意的女游客各有多少名?
(2)从(1)中的5名女游客样本中随机选取两名作深度访谈,求选到满意与不满意的女游客各一名的概率;
(3)根据以上列联表,问有多大把握认为“游客性别与对景区的服务满意”有关
注:
临界值表:
P( | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】设P是椭圆上一点,M,N分别是两圆(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为 ( )
A. 9,12 B. 8,11 C. 10,12 D. 8,12
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C经过M(1,3),N(4,2),P(1,﹣7)三点,且直线l:x+ay﹣1=0(aR)是圆C的一条对称轴,过点A(﹣6,a) 作圆C的一条切线,切点为B,则线段AB的长度为_______.
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【题目】已知点和点
,直线
,
的斜率乘积为常数
,设点
的轨迹为
,下列说法正确的是( )
A.存在非零常数,使
上所有点到两点
,
距离之和为定值
B.存在非零常数,使
上所有点到两点
,
距离之和为定值
C.不存在非零常数,使
上所有点到两点
,
距离之差的绝对值为定值
D.不存在非零常数,使
上所有点到两点
,
距离之差的绝对值为定值
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【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
.
为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上异于
的两个动点,直线
与直线
分别交于
两点.
(I)求椭圆的方程;
(II)若与
的面积之比为
,求
的坐标;
(III)设直线与
轴交于点
,若
三点共线,求证:
.
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