【题目】在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方法，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了100人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：（注：年龄单位：岁）
年龄 |
|
|
|
|
|
|
频数 | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
赞成人数 | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的
列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | |||
不赞成 | |||
合计 |
（2）若从年龄在
，
调查的人中各随机选取1人进行追踪调查，求选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为1人的概率.
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式：
，其中
.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）通过年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数表，可以求出：年龄不低于45岁的人数中，其中赞成的人数为9+2+1=12，不赞成的人数为20+5+5-12=18；同理可算出，年龄低于45岁的人数中，赞成的人数与不赞成的人数，然后填表；根据所给的公式，可以计算出
的值，对照临界值表，可以判断出是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”.
（2）年龄
中有5人，不赞成的记为
，
，
；赞成的记为
，
，年龄
中有5人，不赞成的记为
，
，
，
，赞成记
，列出从年龄，中各取1人可能情况， 然后查出恰好有1人使用微信交流的可能情况的个数，最后求出概率.
解:（1）根据频数分布，填写
列联表如下：
年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
赞成 | 12 | 58 | 70 |
不赞成 | 18 | 12 | 30 |
合计 | 30 | 70 | 100 |
计算观测值
，
对照临界值表知，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用微信
交流的态度与人的年龄有关”；
（2）年龄中有5人，不赞成的记为，，；赞成的记为，，年龄中有5人，不赞成的记为，，，，赞成记，则从年龄，中各取1人共有25种可能，结果如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
恰好有1人使用微信交流的共有11种可能，结果如下：
，，，，，，，，，，
所以从年龄在，调查的人中各随机选取一人进行追踪调查，选中的2人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为一人的概率.
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【题目】如图，已知点F为抛物线C：
（
）的焦点，过点F的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时，
.
（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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【题目】定义“矩阵”的一种运算
，该运算的意义为点
在矩阵的变换下成点
设矩阵
已知点
在矩阵
的变换后得到的点
的坐标为
，试求点的坐标；
是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．
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【题目】现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）.在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）.在直角坐标平面内，我们定义
，
两点间的“直角距离”为：
.
（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标.（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点
、
的“直角距离”和为定值
的动点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹.（在以下三个条件中任选一个做答）
①
，
，
；
②
，
，；
③，，
.
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）.
①到
，
两点“直角距离”相等；
②到
，
两点“直角距离”和最小.
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【题目】已知椭圆
的右顶点为
，上顶点为
，右焦点为
.连接
并延长与椭圆
相交于点
，且
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)设经过点
的直线
与椭圆相交于不同的两点
，直线
分别与直线
相交于点
，点
.若
的面积是
的面积的2倍，求直线的方程.
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【题目】已知空间几何体
中，
与
均为边长为
的等边三角形，
为腰长为
的等腰三角形，平面
平面
，平面
平面.
（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点
与
的连线
均与平面
平行，并给出详细证明；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知
是圆
：
上任意一点，
，线段
的垂直平分线与半径
交于点
，当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线
.
（1）求曲线的方程；
（2）记曲线与
轴交于
两点，
是直线
上任意一点，直线
，
与曲线的另一个交点分别为
，求证：直线
过定点
.
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【题目】在平面直角坐标系中，函数
在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作：把x轴上的区间
等分成n个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用
表示第k个矩形的面积，
表示这n个叫矩形的面积总和.
（1）求
的表达式；
（2）利用数学归纳法证明
，并求出的表达式
（3）求
的值，并说明的几何意义.
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