Question

【题目】已知函数，.

（Ⅰ）求函数在点点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）将代入解析式，求出切点坐标，对函数求导，将代入导函数，即可求得斜率，由点斜式方程求出切线方程；

（Ⅱ）将不等式化简为一侧为0的形式，构造新的函数，对新函数求导分析，由于导函数正负无法直接判断，所以对导函数进行求导分析，对参数进行分类讨论，从而逐步探究函数的单调性等性质，求出参数的取值范围.

（Ⅰ）∵，∴，

∴，，

∴函数在点点处的切线方程为.

（Ⅱ），令，

则，，

①若，则，∴在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴，∴，

即，不符合题意.

②若，则当时，，

∴在上单调递增，

∴，

∴在上单调递增，

∴，∴，

即，不符合题意.

③若，则当时，，

∴在上单调递减，

∴，

∴在上单调递减，

∴，∴，

即，符合题意.

综上所述，的取值范围是.