Question

【题目】过圆：上一动点作轴的垂线，交轴于点，点满足.

（Ⅰ）求点的轨迹方程；

（Ⅱ）设点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点，过且与垂直的直线交圆于，两点，求四边形面积的取值范围.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】

(1) 设点的坐标为，点的坐标为，因为，所以，.

利用点在圆上可得结果；（2）设直线的方程为，

则：，联立，消去得，由韦达定理弦长公式可得的值，利用点到直线距离公式与勾股定理可得的值，从而可得四边形的面积 ，换元后，利用单调性可得结果.

（1）设点的坐标为，点的坐标为，

因为，所以，.

因为点在圆上，所以.

把，代入，得，即，

所以点的轨迹方程为.

（2）若直线与轴重合，则直线与轴垂直，则：，：，则，，于是四边形的面积.

若直线与轴不重合，设直线的方程为，

则：，

设，，

联立，消去得，

所以，，

则 .

易求得圆心到直线：的距离，

所以 .

令，则，

因为，所以.

于是四边形的面积 ，

所以，所以四边形面积的取值范围是.