【题目】在三棱柱中,侧面
是边长为2的菱形,
,
.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若底面是以为直角顶点的直角三角形,且
,求二面角
的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)由菱形的性质可得,由等腰三角形的性质可得
,从而可得
平面
,进而可得结果;(2)由(1)可知
,
,
,则
,又
,则
平面
,以
为坐标原点,分别以
,
,
所在的直线为
轴,
轴,
轴建立坐标系,求出平面
的法向量与平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
(1)证明:连接,∵四边形
是菱形,且
,
∴为等边三角形.
取的中点
,连接
,
,则
,
又∵,
∴,
∵,
、
平面
,
∴平面
,
又∵平面
,
∴.
(2)由(1)及题意可知,
,
,则
,又
,则
平面
,以
为坐标原点,分别以
,
,
所在的直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的坐标系
,
则,
,
,
,
,
∴,
,
,
∴,
∴,
∴,
设平面的法向量为
,
则,可得
,故可取
.
设平面的法向量为
,同理可取
,
∴,
∴二面角的正弦值为
.
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【题目】已知抛物线的焦点为
,点
的坐标为
,点
在抛物线
上,且满足
,(
为坐标原点).
(1)求抛物线的方程;
(2)过点作斜率乘积为1的两条不重合的直线
,且
与抛物线
交于
两点,
与抛物线
交于
两点,线段
的中点分别为
,求证:直线
过定点,并求出定点坐标.
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【题目】已知圆,点
,
是圆上一动点,点
在线段
上,点
在半径
上,且满足
.
(1)当在圆上运动时,求点
的轨迹
的方程;
(2)设过点的直线
与轨迹
交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线交
于点
,与
轴交于点
,若
,求点
横坐标的取值范围.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,,
,且
,E为PD中点.
(I)求证:平面ABCD;
(II)求二面角B-AE-C的正弦值.
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【题目】过圆:
上一动点
作
轴的垂线,交
轴于点
,点
满足
.
(Ⅰ)求点的轨迹方程;
(Ⅱ)设点的轨迹为曲线
,过点
的直线
交曲线
于
,
两点,过
且与
垂直的直线
交圆
于
,
两点,求四边形
面积的取值范围.
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【题目】已知抛物线,斜率为
的直线
交抛物线
于
,
两点,当直线
过点
时,以
为直径的圆与直线
相切.
(1)求抛物线的方程;
(2)与平行的直线
交抛物线于
,
两点,若平行线
,
之间的距离为
,且
的面积是
面积的
倍,求
和
的方程.
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