Question

【题目】已知.

（1）当时，若函数在处的切线与函数相切，求实数的值；

（2）当时，记.证明：当时，存在，使得.

Answer 1

【答案】(1) .

(2)见解析.

【解析】分析：第一问将代入解析式，之后对函数求导，从而可以求得，结合，利用点斜式写出切线的方程，之后再结合直线与抛物线相切的有关特征求得参数b的值；第二问结合题中的条件，转化函数解析式，利用导数研究函数的性质，向最值靠拢即可证得结果.

详解：（Ⅰ）解：当时，，

，故切线方程为．

设切线与相切的切点为，

故满足方程组

解得，故．

（Ⅱ）证明：，

令，则

在上单调递增，在上单调递减.

即恒成立，

或，

在上单调递减，在上单调递增，

．

只需证时，即可，

令

则，恒成立，

在上单调递减.

，

在上单调递增，上单调递减，