Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，且，E为PD中点.

（I）求证：平面ABCD；

（II）求二面角B-AE-C的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）见解析（II）

【解析】

（I）根据题目所给条件，利用直线与平面垂直的判定方法分别证明出平面PAB以及平面，进而得到和，从而推得线面垂直。

（II）根据已知条件，以A为原点，AB为轴，AD为轴，AP为轴建立直角坐标系，分别求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值。

解：（I）证明：∵底面ABCD为正方形，

∴，又，，

∴平面PAB，∴．

同理，∴平面ABCD

（II）建立如图的空间直角坐标系A-xyz，

则，，，，

易知

设为平面ABE的一个法向量，

又，，∴令，，得.

设为平面AEC的一个法向量，又

∴令，得

.

∴二面角B-AE-C的正弦值为.