Question

【题目】已知函数的定义域为，且对任意实数恒有（且）成立.

（1）求函数的解析式；

（2）讨论在上的单调性，并用定义加以证明.

Answer 1

【答案】（1）（2）当时， 在上为单调减函数；当时， 在上为单调增函数.

【解析】试题分析：（1） ①，用替换①式中的有： ②，由①②消去即可得结果；（2）讨论两种情况，分别利用复合函数的单调性判断其单调性，再利用定义意且，判定的符合，即可证明结论.

试题解析：（1）∵对任意实数恒有： ①，

用替换①式中的有： ②，

①×②—②得： ，

（2）当时，函数为单调减函数，函数也为单调减函数，

∴在上为单调减函数.

当时，函数为单调增函数，函数也为单调增函数，

∴在上为单调增函数.

证明：设任意且，则

，∵， ，

①当时，则，∴

∴在上是减函数.

②当时，则，∴

∴在上是增函数.

综上：当时， 在上为单调减函数；

当时， 在上为单调增函数.