Question

【题目】已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.

（1）试在平面内作一条直线，使直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG.HG为所求直线.证明平面AHG||平面CDE，

原题即得证；（2）以CD中点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴，OE所在直线为Z轴,建立空间直角坐标系，利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.

如图所示:取BC和BD的中点H、G，连接HG.HG为所求直线.

所以,

因为平面平面，,

所以，

取CD中点O,连接EO,

因为平面平面，

所以，

所以AH||EO,又平面CDE,平面CDE,

所以.

因为,

所以,

因为,

则，

所以直线HG上任意一点与的连线均与平面平行.

(2)以CD中点O为坐标原点，OD所在直线为x轴，OB所在直线为Y轴，OE所在直线为Z轴,建立空间直角坐标系.,

设

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.