Question

已知数列{a_n}中an≠0，(n≥1)，a1=

1

2

，前n项和S_n满足：an=

2 S 2 n

2Sn-1

，(n≥2)
（1）求证：数列{

1

Sn

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若b1=

1

2

，bn=

2(1-n)

n+1

an（n≥2），S_n′为数列{b_n}的前n项和，求证：S_n′＜1．

Answer 1

分析：（1）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2），an=

2 S 2 n

2Sn-1

，(n≥2)变形，得出关于数列{

1

Sn

}的递推关系式，再结合等差数列定义证明．
（2）由（1）求出数列{

1

Sn

}的通项公式，进而得出数列{S_n}的通项公式，再次利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由（2）知当n≥2时，bn=

2(1-n)

n

an=

2(1-n)

n

[-

1

2n(n-1)

]=

1

n(n+1)

，利用裂项求和法，求出S_n′，再证明S_n′＜1．

解答：解：（1）∵an=

2 S 2 n

2Sn-1

，(n≥2)，
∴Sn-Sn-1=

2 S 2 n

2Sn-1

，整理得

(2Sn-1)(Sn-Sn-1)=2 S 2 n

，

Sn-1-Sn=2Sn•Sn-1

显然，S_n≠0，否则由an=

2 S 2 n

2Sn-1

知a_n=0，这与a_n≠0矛盾．
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
又

1

S1

=

1

a1

=2，

1

S2

=4，

1

S2

-

1

S1

=2，
∴{

1

Sn

}是首项为2，公差为2的等差数列
（2）由（1）可知：

1

Sn

=2+(n-1)×2=2n，
∴Sn=

1

2n

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

=-

1

2n(n-1)

当n=1时，a1=S1=

1

2

∴an=

1 2 ，n=1 - 1 2n(n-1) ，n≥2

．
（3）∵b1=

1

2

，且由（2）知当n≥2时，
bn=

2(1-n)

n

an=

2(1-n)

n

[-

1

2n(n-1)

]=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n′=b₁+b₂+b₃+…+b_n

= 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +…+ 1 n(n+1)

=

1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 +…+ 1 n - 1 n+1

=

1- 1 n+1

=

n n+1 ＜1

证得S_n′＜1．

点评：本题考查等差数列的证明，数列通项公式与递推公式，考查a_n=S_n-S_n-1（n≥2）关系的应用，裂项法求和．要求具有转化构造，推理论证、运算求解能力．