Question

19．函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k级“理想区间”．下列结论错误的是（　　）

• A． 函数f（x）=x²（x∈R）存在1级“理想区间”
• B． 函数f（x）=e^x（x∈R）不存在2级“理想区间”
• C． 函数f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$（x≥0）存在3级“理想区间”
• D． 函数f（x）=tanx，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）不存在4级“理想区间”

Answer 1

分析 A、B、C中，可以找出定义域中的“理想区间”，从而作出正确的选择．D中，假设存在“理想区间”[a，b]，会得出错误的结论．

解答 解：A中，当x≥0时，f（x）=x²在[0，1]上是单调增函数，且f（x）在[0，1]上的值域是[0，1]，
∴存在1级“理想区间”，原命题正确；
B中，当x∈R时，f（x）=e^x在[a，b]上是单调增函数，且f（x）在[a，b]上的值域是[e^a，e^b]，
∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；
C中，因为f（x）=$\frac{4x}{{x}^{2}+1}$=$\frac{4}{x+\frac{1}{x}}$在（0，1）上为增函数．
假设存在[a，b]?（0，1），使得f（x）∈[3a，3b]则有$\left\{\begin{array}{l}f（a）=3a\\ f（b）=3b\end{array}\right.$，所以命题正确；
D中，若函数（a＞0，a≠1）．不妨设a＞1，则函数在定义域内为单调增函数，
若存在“4级理想区间”[m，n]，
则由m，n是方程tanx=4x，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）的两个根，
由于该方程不存在两个不等的根，
故不存在“4级理想区间”[m，n]，
∴D结论错误
故选：D

点评 本题考查了新定义下的函数的性质与应用问题，解题时应理解新定义中的题意与要求，转化为解题的条件与结论，是易错题．