Question

14．设函数y=ln（-x²-2x+8）的定义域为A，函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域为B，不等式ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$≤0（a≠0且a∈R）的解集为C；
（1）求A∩B；
（2）若C⊆∁_RA，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由-x²-2x+8＞0，利用一元二次不等式的解法可得A；由y=x+$\frac{1}{x}$-1，对x分类讨论，利用基本不等式的性质即可得出B，再利用交集的运算性质即可得出．
（2）∁_RA={x|x≤-4或x≥2}，ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$≤0（a≠0且a∈R），化为$（ax-\frac{1}{a}）（x+4）≤0$，对a分类讨论，利用一元二次不等式的解法及其集合的关系即可得出．

解答 解：（1）由-x²-2x+8＞0，解得A={x|-4＜x＜2}；
由y=x+$\frac{1}{x}$-1，当x＞0时，y≥$2\sqrt{x•\frac{1}{x}}$-1=1，当且仅当x=1时取等号；
同理当x＜0时，x≤-3．
∴函数y=x+$\frac{1}{x}$-1的值域B={x|x≤-3或x≥1}．∴A∩B={x|-4＜x≤-3，或1≤x＜2}．
（2）∁_RA={x|x≤-4或x≥2}，∵ax²+（4a-$\frac{1}{a}$）x-$\frac{4}{a}$≤0（a≠0且a∈R），
∴$（ax-\frac{1}{a}）（x+4）≤0$，①当a＞0时，由$（x-\frac{1}{{a}^{2}}）（x+4）$≤0，解得C=$\{x|-4≤x≤\frac{1}{{a}^{2}}\}$，不满足C⊆∁_RA，舍去；
②当a＜0时，由$（x-\frac{1}{{a}^{2}}）（x+4）$≥0，解得C=$\{x|x≤-4或x≥\frac{1}{{a}^{2}}\}$，
∵C⊆∁_RA，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$≥2，解得$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a＜0，
∴a的取值范围是$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、交集的运算性质、分类讨论、一元二次不等式的解法、集合的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．