Question

3．已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为数列{a_n}的前n项的和，且2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，则数列{a_n}的首项a₁=1；其通项公式a_n=n．

Answer 1

分析 通过2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n与2S_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$+a_n+1作差、整理得a_n+1+a_n=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），进而可知数列{a_n}是以首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论．

解答 解：∵2S_n=${a}_{n}^{2}$+a_n，
∴2S_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$+a_n+1，
两式相减得：2a_n+1=${{a}_{n+1}}^{2}$-${a}_{n}^{2}$+（a_n+1-a_n），
整理得：a_n+1+a_n=${{a}_{n+1}}^{2}$-${a}_{n}^{2}$=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
又∵a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n=1，
又∵2a₁=${{a}_{1}}^{2}$+a₁，
解得：a₁=1或a₁=0（舍），
∴数列{a_n}是以首项、公差均为1的等差数列，
∴a_n=n，
故答案为：1，n．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．