Question

15．已知平面直角坐标系xOy中，动点M到定点A（1，0），B（4，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，设动点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B作斜率为0的直线l与曲线C相交于P，Q两点；
（ⅰ）若OP⊥OQ，求直线l的方程；
（ⅱ）求三角形APQ面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直接法求曲线C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设直线方程，若OP⊥OQ，则△POQ为等腰直角三角形，O到直线l的距离为$\sqrt{2}$，求出k，即可求直线l的方程；
（ⅱ）表示出三角形APQ面积，换元，利用配方法求出最大值．

解答 解：（Ⅰ）设M（x，y），则
∵动点M到定点A（1，0），B（4，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-4）^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
化简可得x²+y²=4，
即曲线C的方程为x²+y²=4；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-4）（k≠0），即kx-y-4k=0，
∵直线l与圆C相交，∴O到直线l的距离d=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，∴0＜k²＜$\frac{1}{3}$．
（ⅰ）若OP⊥OQ，则△POQ为等腰直角三角形，
∵|OP|=|OQ|=2，
∴O到直线l的距离为$\sqrt{2}$，
∴d=$\frac{4|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x-4）；
（ⅱ）|PQ|=2$\sqrt{4-{d}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{1-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$，
A到直线l的距离为$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴三角形APQ面积S=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{\frac{1-3{k}^{2}}{1+{k}^{2}}}$×$\frac{3|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
设t=1+k²（1＜t＜$\frac{4}{3}$），S=6$\sqrt{\frac{（t-1）（4-3t）}{{t}^{2}}}$-6$\sqrt{-4（\frac{1}{t}-\frac{7}{8}）^{2}+\frac{1}{16}}$，
∵$\frac{3}{4}$＜$\frac{1}{t}$＜1，
∴$\frac{1}{t}$=$\frac{7}{8}$，即k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$时，三角形APQ面积的最大值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查三角形面积的计算，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．