Question

20．已知a＞0，b＞0，圆C：（x-2）²+（y+1）²=5关于直线ax-by-1=0对称，则$\frac{3}{b}+\frac{2}{a}$的最小值为7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用圆的方程关于直线对称，得到ab关系式，然后利用基本不等式求解最值即可．

解答 解：a＞0，b＞0，圆C：（x-2）²+（y+1）²=5关于直线ax-by-1=0对称，
可得2a+b-1=0，$\frac{3}{b}+\frac{2}{a}$=$（\frac{3}{b}+\frac{2}{a}）（2a+b）$=$\frac{6a}{b}+\frac{2b}{a}+7$≥$2\sqrt{\frac{6a}{b}•\frac{2b}{a}}+7$=4$\sqrt{3}+7$，
当且仅当$\frac{6a}{b}=\frac{2b}{a}$并且2a+b-1=0时，即a=2$-\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}-3$是取等号．
则$\frac{3}{b}+\frac{2}{a}$的最小值为：7+4$\sqrt{3}$．
故答案为：7+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，基本不等式的应用，考查计算能力．