Question

11．已知函数f（x）=mx²-mx-6+m，若对于m∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 分离参数m，得m（x²-x+1）-6＜0，只需$\left\{\begin{array}{l}{1×（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\\{3×（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\end{array}\right.$的解集即可．

解答 解：∵mx²-mx-6+m＜0，∴m（x²-x+1）-6＜0，
对于m∈[1，3]，f（x）＜0恒成立?$\left\{\begin{array}{l}{1×（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\\{3×（{x}^{2}-x+1）-6＜0}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-\sqrt{21}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{21}}{2}}\\{\frac{1-\sqrt{5}}{2}＜x＜\frac{1+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
∴实数x的取值范围：$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，考查主元法的运用和一次函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．