Question

（1）设函数f（x）=a•2^x+b•4^x，其中常数a，b满足ab＜0，若f（x+1）＞f（x），求实数x的取值范围；
（2）设函数f（x）=ln（x+1），若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：对数的运算性质,指数型复合函数的性质及应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=b(2x+

a

2b

)2-

a2

4b

，①当a＞0，b＜0时，函数f（x）在(-∞，-

a

2b

)上单调递增，在(-

a

2b

，+∞)上单调递减．②当b＞0，a＜0时，函数f（x）在(-∞，-

a

2b

)上单调递减，在(-

a

2b

，+∞)上单调递增．对x与-

a

2b

的大小关系分类讨论即可得出．
（2）利用对数的运算法则、函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=b(2x+

a

2b

)2-

a2

4b

，
①当a＞0，b＜0时，函数f（x）在(-∞，-

a

2b

)上单调递增，在(-

a

2b

，+∞)上单调递减．
当x＞-

a

2b

时，f（x+1）＞f（x），恒成立，因此x＞-

a

2b

；
当x+1＜-

a

2b

时，f（x+1）＞f（x），不成立，舍去；
当-1-

a

2b

＜x＜-

a

2b

时，只有当-

a

2b

-

1

2

＜x＜-

a

2b

时，f（x+1）＞f（x）．
综上可得：当a＞0，b＜0时，x的取值范围是(-

a

2b

-

1

2

，+∞)．
②当b＞0，a＜0时，函数f（x）在(-∞，-

a

2b

)上单调递减，在(-

a

2b

，+∞)上单调递增．
当x+1＜-

a

2b

时，f（x+1）＞f（x），成立；
当x＞-

a

2b

时，f（x+1）＞f（x），不成立，舍去；
-1-

a

2b

＜x＜-

a

4b

+

1

2

时，f（x+1）＞f（x），成立．
综上可得：当b＞0，a＜0时，x的取值范围是(-∞，-

a

4b

+

1

2

)．
（2）0＜f（1-2x）-f（x）＜1，即0＜ln（2-2x）-ln（1+x）＜1，
又∵函数f（x）=ln（x+1），在（-1，+∞）单调递增；
∴1＜

2-2x

x+1

＜e，2-2x＞-1，x＞-1，
解得

2-e

2+e

＜x＜

1

3

，
∴实数x的取值范围是(

2-e

2+e

，

1

3

)．

点评：本题考查了指数函数、对数函数与二次函数的单调性，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．