Question

.已知定义在R上的函数f（x）=( a , b , c , d ∈R )的图象关于原点对称，且x = 1时，f（x）取极小值。

    （Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象旧否存在两点，使得此两面三刀点处的切线互相垂直？试证明你的结论；

（Ⅲ）若∈[-1，1]时，求证：| f ()-f （）|≤。

Answer 1

（1）f(x)= 

（2） 当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立

（3）同解析

解析:

Ⅰ）∵函数f（x）的图象关于原点对称，

∴f（0）= 0，即4d = 0,∴d = 0

又f（-1）= - f（1），

即-a - 2b - c = -a + 2b – c ，∴b = 0

∴f（x）=+cx ,f ′（x）= 3a+c .

∵x = 1时，f(x)取极小值，

∴ 3a + c = 0且 a + c = .

解得a =  ,c = .  

∴f(x)=

（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使得结论成立。

假设图象上存在两点A（，），B（，），使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′（x）=(-1)知两点处的切线斜率分别为=，

=，且 = 1             （*）

∵，∈[-1，1]，

∴-1≤0，-1≤0

∴（-1）（-1）≥0 此与（*）矛盾，故假设不成立

（Ⅲ）（理科）证明：f ′（x）=（-1），令f ′（x）= 0，得x = ±1

∴x∈（-∞，-1）或x∈（1，+∞）时，f ′（x）＞0，x∈（-1，1）时，f ′（x）＜0

∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且（x）=f(-1)=,(x)=f(1)=.

∴在[-1，1]上| f（x）|≤，于是，∈[-1，1]时，

|f()-f()|≤|f()|+|f()|≤