Question

6．若正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的棱长为6，求它的内切球的表面积．

Answer 1

分析 求出正三棱锥的高，求出正三棱锥的全面积和体积，设内切球的半径为r，以球心O为顶点，以棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，运用等积法可得球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意，底面外接圆的半径为$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×6=2$\sqrt{3}$，
∴正三棱锥的高为$\sqrt{{6}^{2}-（2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
∵正三棱锥的所有棱长都等于6，
则S_全=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²=36$\sqrt{3}$．
V_P-ABC=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×36×2$\sqrt{6}$=18$\sqrt{2}$，
设内切球的半径为r，以球心O为顶点，
以棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，
则V₁+V₂+V₃+V₄=$\frac{1}{3}$rS_全=V_P-ABC，
∴r=$\frac{3×18\sqrt{2}}{36\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴S球=4πr²=4π×$\frac{6}{4}$=6π．

点评 本题考查正三棱锥与内切球的关系，主要考查球的表面积公式的计算，确定球的半径是关键．