Question

18．已知非常数列{a_n}的通项公式满足6a_n+1-3a_n=2．
（1）求证：{a_n-$\frac{2}{3}$}是等比数列；
（2）当a₁=$\frac{7}{6}$时，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对6a_n+1-3a_n=2变形可知a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），进而可知数列{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）通过a₁=$\frac{7}{6}$可知a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，进而可知数列{a_n-$\frac{2}{3}$}是以首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵6a_n+1-3a_n=2，
∴a_n+1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$（a_n-$\frac{2}{3}$），
∴数列{a_n-$\frac{2}{3}$}是以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（2）解：∵a₁=$\frac{7}{6}$，
∴a₁-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{6}$-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n-$\frac{2}{3}$}是以首项、公比均为$\frac{1}{2}$的等比数列，
∴a_n-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．