Question

8．设a＞1，b＞1且ab+a-b-10=0，a+b的最小值为m，记满足2x²+y²≤m的所有整点坐标为（x_i，y_i）（i=1，2，3，…，n），则$\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}$|x_iy_i|=12．

Answer 1

分析 对已知进行整理可得，（a-1）（b+1）=9然后利用基本不等式可求a+b的最小值，从而可求m，代入求出符合条件的m即可求解．

解答 解：由ab+a-b-10=0可得b（a-1）+（a-1）=9，
即（a-1）（b+1）=9，
由基本不等式可得，（b+1）（a-1）≤（ $\frac{b+1+a-1}{2}$）²=（ $\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²≥36，当且仅当a=4，b=2时取等号，
故a+b的最小值是6即m=6，
从而满足2x²+y²≤6的整点有15个，（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2）（1，0），（1，1），（1，2），（1，-1，），（1，-2），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，-1），（-1，-2），
则$\underset{\stackrel{n}{∑}}{i=1}$|x_iy_i|=1+2+1+2+1+2+1+2=12，
故答案为：12．

点评 本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用及整数点的求解，解题的关键是求解出m的值．