Question

17．（1）若x＞0时，a，b∈[0，+∞），求f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的最小值；
（2）若x＜0，a，b∈[0，+∞），求f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）当x＞0时，直接由基本不等式可得f（x）=ax+$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=2$\sqrt{ab}$，求出等号成立的条件即可；
（2）当x＜0时，变形可得f（x）=-（-ax-$\frac{b}{x}$）≤-2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=-2$\sqrt{ab}$，求出等号成立的条件即可．

解答 解：（1）当x＞0时，a，b∈[0，+∞），
f（x）=ax+$\frac{b}{x}$≥2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=2$\sqrt{ab}$，
当且仅当ax=$\frac{b}{x}$即x=$\frac{\sqrt{ab}}{a}$时取等号，
∴f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的最小值为2$\sqrt{ab}$，；
（2）当x＜0，a，b∈[0，+∞），
f（x）=-（-ax-$\frac{b}{x}$）≤-2$\sqrt{ax•\frac{b}{x}}$=-2$\sqrt{ab}$，
当且仅当-ax=-$\frac{b}{x}$即x=-$\frac{\sqrt{ab}}{a}$时取等号，
∴f（x）=ax+$\frac{b}{x}$的最大值为-2$\sqrt{ab}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，注意等号成立的条件是解决问题的关键，属基础题．