Question

12．在（1+2x）¹⁰的展开式中．
（1）求系数最大的项；
（2）若x=2.5，则第几项的值最大？

Answer 1

分析 （1）根据通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$ 求得整数r的值，可得系数最大的项．
（2）根据通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•5^r，再由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•5}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•5}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得整数r的值，可得第几项的值最大．

解答 解：（1）（1+2x）¹⁰的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r，由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•2}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•2}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•2}^{r+1}}\end{array}\right.$，
求得$\frac{19}{3}$≤r≤$\frac{22}{3}$，∴r=7，即系数最大的项为第8项T₈=${C}_{10}^{7}$•2⁷•x³=15360x³．
（2）若x=2.5，则（1+2x）¹⁰的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{10}^{r}$•2^r•x^r=${C}_{10}^{r}$•5^r，
再由$\left\{\begin{array}{l}{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r-1}{•5}^{r-1}}\\{{C}_{10}^{r}{•5}^{r}{≥C}_{10}^{r+1}{•5}^{r+1}}\end{array}\right.$，求得$\frac{49}{6}$≤r≤$\frac{55}{6}$，∴r=9，
即第10项的值最大．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．