Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）当x∈[1，3]时，求函数f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出导函数，再根据x=2是f（x）的一个极值点对应x=2是导数为0的根即可求b的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论求出函数的极值点，通过比较极值与端点值的大小从而确定出最大值．

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2bx+2．--------------------------------------------------------------（3分）
∵x=2是f（x）的一个极值点，
∴x=2是方程x²-2bx+2=0的一个根，解得b=

3

2

．------------（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+a，
则f′（x）=x²-3x+2．-------------------------------------------------------------（7分）
令f′（x）=0，解得x=1或x=2．----------------------------------------------------（8分）

x	1	（1，2）	2	（2，3）	3
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	5 6 +a	↓	2 3 +a	↑	3 2 +a

∵当x∈（1，2）时f′（x）＜0，∴f（x）在（1，2）上单调递减；
当x∈（2，3）时f′（x）＞0，∴f（x）在（2，3）上单调递增．
∴当x∈[1，3]时，函数f（x）的最大值为f（1）与f（3）中的较大者．
∴函数f（x）的最大值为

3

2

+a．-----------------------------------------------------------（13分）

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．