Question

如图，正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，已知AB=AA₁，M为CC₁的中点．
（1）求证：BM⊥AB₁；
（2）试在棱AC上确定一点N，使得AB₁∥平面BMN．

Answer 1

解：（1）证明：取A₁B₁的中点F，连接A₁B，AB₁交于点E，连接EF，C₁F．
因为△A₁B₁C₁是正三角形，
所以C₁F⊥A₁B₁．
又ABC﹣A₁B₁C₁是正三棱柱，
所以B₁B⊥面A₁B₁C₁，
所以B₁B⊥C₁F．
所以有C₁F⊥面BB₁A₁A．
ME⊥面BB₁A₁A
ME⊥AB₁，
又在面BB₁C₁C中，AB₁⊥A₁B，
所以AB₁⊥平面BEM，
所以BM⊥AB₁；
（2）N为AC的三等分点，CN：NA=1：2．
连接B₁C，B₁C∩BM=E₁，
∵△CE₁M∽△B₁E₁B，
∴==，
∴==，
∴AB₁∥NE₁
又∵E₁N面BMN，
AB₁面BMN
∴AB₁∥平面BMN