Question

已知椭圆

x2

8

+

y2

b2

=1（0＜b＜2

2

）的左、右焦点分别为F₁和F₂，以F₁、F₂为直径的圆经过点M（0，b）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且

MA

•

MB

=0．求证：直线l在y轴上的截距为定值．

Answer 1

分析：（1）由题设知b=c，又a=2

2

，所以b=c=2，从而可得椭圆方程；
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，利用向量的数量积，结合韦达定理，即可求得直线l在y轴上的截距．

解答：（1）解：由题设知b=c，又a=2

2

，所以b=c=2，故椭圆方程为

x2

8

+

y2

4

=1；…（2分）
（2）证明：因为M（0，2），所以直线l与x轴不垂直．
设直线l的方程为y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，所以x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-8

2k2+1

…（6分）
又

.

MA

•

.

MB

=0，所以（x₁，y₁-2）•（x₂，y₂-2）=0，即x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）+4=0，
x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）-2（kx₁+m+kx₂+m）+4=0，
整理得（k²+1）x₁x₂+k（m-2）（x₁+x₂）+（m-2）²=0，
即（k²+1）×

2m2-8

2k2+1

+k（m-2）×（-

4km

2k2+1

）+（m-2）²=0，…（10分）
因为m≠2，所以2（k²+1）（m+2）-4k²m+（2k²+1）（m-2）=0
展开整理得3m+2=0，即m=-

2

3

．
直线l在y轴上的截距为定值-

2

3

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查韦达定理的运用，综合性强．