Question

（2012•衡阳模拟）已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_n是首项为10，公差为-2的等差数列；a_n+1，a_n+2，…，a_2n是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列（m≥3，m∈N^*），并对任意n∈N^*，均有a_n+2n=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₂；
（2）若a₅₂=

1

128

，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2012成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意，a_n+24=a_n，可得a₂₀₁₂=a₂₀，从而a₂₀是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列的第8项，可求a₂₀₁₂；
（2）先确定m≥7，利用a₅₂=

1

128

，，可得（2k+1）m=45，进而分类讨论，即可求m的值；
（3）先计算S_128m+3，再将S_128m+3≥2012等价变形，从而可得704m-64m²≥1924+64×(

1

2

)m，确定左右两边的最值，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，a_n+24=a_n，∴a₂₀₁₂=a₂₀，
∴a₂₀是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列的第8项，
∴a₂₀₁₂=

1

256

（2）∵

1

128

=(

1

2

)7，∴m≥7
∵a₅₂=

1

128

，
∴2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N
∴（2k+1）m=45，
当k=0时，m=45，成立；当k=1时，m=15，成立；当k=2时，m=9成立；当k≥3时，m≤

45

7

＜7
∴m可取9、15、45；
（3）S_128m+3=64S_2m+a₁+a₂+a₃=64{10m+

m(m-1)

2

×(-2)+

1 2 [1-( 1 2 )m]

1- 1 2

}+10+8+6
∴S_128m+3=704m-64m²+88-64×(

1

2

)m≥2012
∴704m-64m²≥1924+64×(

1

2

)m
设f（m）=704m-64m²，g（m）=1924+64×(

1

2

)m，g（m）＞1924；
f（m）=-64（m²-11m），对称轴m=

11

2

，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）_max=f（5）=f（6）=1920，
因为1924＞1920，所以不存在这样的m．

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解无穷数列是关键．