Question

已知正项函数{a_n}满足a₁=1，a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，n∈N^*
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求数列{（-1）ⁿa_n²}的前2n项和S_2n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，可得（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，由题意可知a_n+1-a_n=2，进而可判断{a_n}为等差数列，易求a_n；
（2）利用S_2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)=（a₂+a₁）•（a₂-a₁）+…+（a_2n+a_2n-1）（a_2n-a_2n-1）=2（a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n）即可得结果．

解答： 解：（1）由a_n+1²=a_n（a_n+4）+4，得an+12=(an+2)2，
∴（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n-2）=0，
由a_n＞0，得a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}为等差数列，且公差为2，
∴{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．
（2）数列{（-1）ⁿa_n²}的前2n项和S_2n=(-a12+a22)+(-a32+a42)+…+(-a2n-12+a2n2)
=（a₂+a₁）•（a₂-a₁）+…+（a_2n+a_2n-1）（a_2n-a_2n-1）
=2（a₁+a₂+…+a_2n-1+a_2n）
=2×

(1+4n-1)×2n

2

=8n²．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，考查学生的运算求解能力，属中档题．