Question

已知f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，且对于任意的x，y∈R都满足f（x）•f（y）=f（x+y）．
（1）求f（0）的值，并证明对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）设当x＜0时，都有f（x）＞f（0），证明：f（x）在（-∞，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，代入f（x）•f（y）=f（x+y）即可得到f（0）的方程，解之即可求得f（0），再有x=

x

2

+

x

2

，即可证得对任意的x∈R，有f（x）＞0；
（2）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，利用定义法作差，整理后即可证得差的符号，进而由定义得出函数的单调性．

解答：解：（1）可得f（0）•f（0）=f（0）?
∵f（0）≠0?
∴f（0）=1
又对于任意x∈R， f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=[f(

x

2

)]2≥0又f(

x

2

)≠0，∴f（x）＞0
（2）设x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f[（x₁-x₂）+x₂]-f（x₂）=f（x₂）[f（x₁-x₂）-1]
∵x₁-x₂＜0?
∴f（x₁-x₂）＞f（0）=1?
∴f（x₁-x₂）-1＞0
对f（x₂）＞0?
∴f（x₂）f[（x₁-x₂）-1]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）故f（x）在R上是减函数

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．