Question

设函数y=ax-

3

2

x²．
（1）若f（x）在区间[1，2]上的最大值为2，求实数a；
（2）若f（x）的最大值不大于

1

6

，且当x∈[

1

4

，

1

2

]时f（x）≥

1

8

，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先把函数的一般式转化为顶点式，进一步求出对称轴方程利用分类讨论思想求出相应的结果．
（2）先利用函数f（x）的最大值不大于

1

6

求出a的范围，进一步利用分类讨论思想求出a的范围．

解答： 解：（1）函数y=ax-

3

2

x2=-

3

2

(x-

a

3

)2+

a2

6

．
则：函数为开口方向向下，对称轴为x=

a

3

的抛物线．
①当1≤

a

3

≤2时，即3≤a≤6  f(x)max=

a2

6

=2，
解得：a=±2

3

（负值舍去）；
②当

a

3

＞2时，即a＞6，函数在区间[1，2]是增函数．
则：f（x）_max=f（2）=2a-6=2，
解得：a=4与a＞6矛盾，故舍去．
③当

a

3

＜1时，即a＜3，函数在区间[1，2]是减函数．
则：f(x)max=f(1)=a-

3

2

=2，
解得：a=

7

2

与a＜3矛盾，故舍去．
综上所述：a=2

3

；
（2）由于f（x）的最大值不大于

1

6

，
所以

a2

6

≤

1

6

即-1≤a≤1，
①当

1

4

≤

a

3

≤

1

2

时，即

3

4

≤a≤

3

2

与-1≤a≤1矛盾，
②当

a

3

＞

1

2

即a＞

3

2

与-1≤a≤1矛盾，
③当

a

3

＜

1

4

时，即a＜

3

4

，函数f(x)max=f(

1

4

)=

a

4

-

3

32

≥

1

8

，
解得：a≥

7

8

；
综上所述：

7

8

≤a≤1．

点评：本题考查的知识要点：二次函数的顶点式与一般式的互化，不定对称轴与定区间进行分类讨论，二次函数的单调性和最值．