Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PD=8，AC=6，BD=8，AC∩BD=O，E是棱PB上的一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若BE：EP=1：2，求三棱锥O-BCE的体积；
（3）是否存在点E，使△ACE的面积最小？若存在，试求出△ACE面积最小值及对应线段BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）菱形的对角线AC、BD互相垂直，用线面垂直的定义得到AC、PD互相垂直，结合线面垂直的判定定理，得到AC与平面PBD垂直，最终得到AC与DE互相垂直．
（2）根据点E是线段PB靠近B点的一个三等分点，得到E到平面ABCD的距离等于PD长的

1

3

，再用菱形的性质得到S_△OBC=

1

4

S_菱形ABCD=6，最后用棱锥的体积公式得出三棱锥O-BCE的体积．
（3）连接OE，可以根据AC与平面PBD垂直，得到OE就是三角形AEC的边AC上的高，OE最短时△ACE的面积也达到最小值，转化为点O到线段PB的最小距离问题．由此得到当OE⊥PB时，△ACE的面积最小，再利用等腰直角三角形OEB求出此时的OE长，问题得到解决．

解答：解：（1）

PD⊥平面ABCD AC?平面ABCD

⇒AC⊥PD
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD结合PD与DB相交
∴AC⊥平面PDB
∵DE?平面PDB
∴AC⊥DE…4′
（2）即求三棱锥E-OBC的体积，
由BE：EP=1：2及PD=8，
得：E到平面ABCD的距离为

8

3

又四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8，
∴S_△OBC=

1

4

S_菱形ABCD=

1

4

×

1

2

×6×8=6
∴VO-BCE=

16

3

…10′
（3）连接OE，由（1）得AC⊥平面PDB，而OE?平面PDB
∴OE⊥AC，OE是三角形ACE的边AC上的高
∴S_△ACE=

1

2

AC•OE=3OE，当OE最短时，△ACE的面积最小，
因为点E在线段PB上运动，所以当OE⊥PB时，△ACE的面积最小，
此时Rt△OEB是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴OE=

2

2

OB=

2

4

BD=2

2

，
所以存在点E使△ACE的面积最小，且△ACE面积最小值为6

2

，此时BE的长为2

2

…14′

点评：本题综合了直线与平面平行的判定、直线与平面垂直的性质和棱柱、棱锥、棱台的体积等几个知识点，属于中档题．在题中出现了探究性问题，请同学们留意在解题过程中“空间问题平面化的思路”，是立体几何常用的数学思想．