Question

（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）已知直线：＝＋＞0交抛物线C：＝2＞0于A、B两点，M是线段AB的中点，过M作轴的垂线交C于点N．

（1）若直线过抛物线C的焦点，且垂直于抛物线C的对称轴，试用表示|AB|；

（2）证明：过点N且与AB平行的直线和抛物线C有且仅有一个公共点；

（3）是否存在实数，使＝0．若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）|AB|＝2（2）见解析（3）当≥2时，存在实数＝±；当＜2时，不存在实数

解析:

（1）抛物线的焦点是F0，，∴：＝，

则可得A、B两点坐标为±，，所以|AB|＝2．（4分）

（2）将＝＋代入＝2得：－2－2＝0，

∴＝＝＝，代入＝2，得：＝，

∴N，．（7分）

则：－＝，代入＝2得：－2＋＝0，

由△＝0得直线和抛物线C只有一个公共点．（10分）

（3）＝－，－，＝－，－，

由＝0得－－＋－－＝0，（12分）

即－－＋＋－＋－＝0，

即＋＋＋－＋＝0，

由（2）可得＋＝2，＝－2，代入整理得：

3＋4＋8－4＝0，即＝0，（16分）

由于＞0，＞0，

∴当≥2时，存在实数＝±；当＜2时，不存在实数．（18分）