方法一 :由三视图可知几何体是底面以
为直角,侧棱
垂直底面的三棱台
, ---------2分
(I)证明 ∵A
1A⊥平面ABC,BC
平面ABC,
∴A
1A⊥BC.
在Rt△ABC中,AB=
,AC=2,∴BC=
.
∵BD∶DC=1∶2,∴BD=
.又
=
=
,
∴△DBA∽△ABC,∴∠ADB=∠BAC=90°,
即AD⊥BC.
又A
1A∩AD=A,∴BC⊥平面A
1AD.
∵BC
平面BCC
1B
1,∴平面A
1AD⊥平面BCC
1B
1. --------7分
(II)解 如图①,作AE⊥C
1C交C
1C于E点,连接BE,由已知得AB⊥平面ACC
1A
1,
∴AE是BE在平面ACC
1A
1内的射影.
由三垂线定理知BE⊥CC
1,
∴∠AEB为二面角A—CC
1—B的平面角. 图①
过C
1作C
1F⊥AC交AC于F点,
则CF=AC-AF=1,
C
1F=A
1A=
,∴∠C
1CF=60°.
在Rt△AEC中,
AE=ACsin60°=2×
=
,
在Rt△BAE中,tan∠AEB=
=
=
,
∴cos∠AEB=
,
即二面角A—CC
1—B余弦值为
-------12分
方法二 (I) 证明 如图②,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(
,0,0),C(0,2,0),
A
1(0,0,
),C
1(0,1,
).
∵BD∶DC=1∶2,∴
=
,
∴D点坐标为
,
∴
=
,
=(-
,2,0),
=(0,0,
).
∵
·
=0,
·
=0,
∴BC⊥AA
1,BC⊥AD.又A
1A∩AD=A,
∴BC⊥平面A
1AD.又BC
平面BCC
1B
1,
∴平面A
1AD⊥平面BCC
1B
1.
(II)解 ∵BA⊥平面ACC
1A
1,取m=
=(
,0,0)为平面ACC
1A
1的法向量.
设平面BCC
1B
1的法向量为n=(x,y,z),
则
·n=0,
·n=0,
∴
∴x=
y,z=
,可取y=1,则n=
,
cos〈m,n〉=
=
,
即二面角A—CC
1—B的余弦值为
.