Question

【题目】已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上． （Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为 ．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0 ， y0），由题意可知 解得： ，
所以抛物线C1的方程为：y2=8x
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，
∵椭圆C2的离心率为 ，∴ ， ，
∴椭圆C2的方程为：
设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），
由 得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0
由韦达定理得： ，
由△＞0（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0 或 …①
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则 ，
∴
=
=
= …②
由①、②得实数k的范围是 或
【解析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0 ， y0），列出关于x0 ， y0 ， p的方程组，即可求解抛物线方程．（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出 ，然后求解k的范围即可．