Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，a2=4，且对任意m，n，p，q∈N* ， 若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq ． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为Sn ， 求证： ≤Sn＜ ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：令m=1，p=n﹣1，q=2，可得：an+a1=an﹣1+a2 ， 即an﹣an﹣1=3．（n≥2）． ∴数列{an}是等差数列，公差为3．
∴an=1+3（n﹣1）=3n﹣2．
（Ⅱ）证明： = = ．
∴Sn= + +…+
= ＜ ．
另一方面：数列 单调递增，∴Sn≥S1= ．
∴ ≤Sn＜
【解析】（I）令m=1，p=n﹣1，q=2，可得：an+a1=an﹣1+a2 ， 即an﹣an﹣1=3．（n≥2）．利用等差数列的通项公式即可得出．（II） = = ．利用裂项求和方法与数列的单调性即可证明．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．