Question

a=-

1

2

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：对充分性和必要性分别加以论证：将a=-

1

2

代入函数的表达式，不难根据函数奇偶性定义得到函数f（x）为偶函数，从而充分性成立；反之再根据函数为偶函数，用f（x）-f（-x）=0恒成立，采用比较系数法，可得a=-

1

2

，说明必要性成立．由此不难选出正确的选项．

解答：解：先看充分性
若a=-

1

2

，则函数f（x）=ln（e^x+1）-

1

2

x=ln

ex+1

e 1 2 x

=ln（e

1

2

x+e-

1

2

x）
可得f（-x）=ln（e-

1

2

x+e

1

2

x）=f（x），函数是偶函数，充分性成立；
再看必要性
若函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数，即
f（-x）=ln（e^-x+1）-ax=f（x），
可得ln（e^x+1）+ax-（ln（e^-x+1）-ax）=0，对任意实数x恒成立
∴ln(

ex+1

e-x+1

) +2ax=0对任意实数x恒成立，
而

ex+1

e-x+1

=ex，上式变成ln（e^x）+2ax=（2a+1）x=0对任意实数x恒成立
所以a=-

1

2

，可得必要性成立
综上，a=-

1

2

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的充分必要条件
故选C

点评：本题以函数的奇偶性为载体，考查了充分必要条件的判断与证明，属于基础题．在解题过程中将函数进行化简，利用了比较系数的方法求常数a的值，请同学们体会这种常用数学方法．