Question

a=-

1

2

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的（　　）

A．充分不必要条件	B．必要不充分条件
C．充分必要条件	D．既不充分也不必要条件

Answer 1

先看充分性
若a=-

1

2

，则函数f（x）=ln（e^x+1）-

1

2

x=ln

ex+1

e 1 2 x

=ln（e

1

2

x+e-

1

2

x）
可得f（-x）=ln（e-

1

2

x+e

1

2

x）=f（x），函数是偶函数，充分性成立；
再看必要性
若函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数，即
f（-x）=ln（e^-x+1）-ax=f（x），
可得ln（e^x+1）+ax-（ln（e^-x+1）-ax）=0，对任意实数x恒成立
∴ln(

ex+1

e-x+1

) +2ax=0对任意实数x恒成立，
而

ex+1

e-x+1

=ex，上式变成ln（e^x）+2ax=（2a+1）x=0对任意实数x恒成立
所以a=-

1

2

，可得必要性成立
综上，a=-

1

2

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的充分必要条件
故选C