Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函数f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（1）求函数f（x）的最小正周期T及单调增区间；
（2）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，a=2

3

，c=4且f（A）是函数f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标表示出

m

+

n

的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则计算，列出函数f（x）的解析式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函数的最小正周期；由正弦函数的单调增区间为]2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出关于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范围，即为函数f（x）的单调增区间；
（2）将x=A代入（1）中确定出的f（x）解析式中，根据A的范围，得出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出f（x）的值域，得到f（A）取得最大值时A的度数，进而得出sinA和cosA的值，由余弦定理得到a²=b²+c²-2bccosA，将a，c及cosA的值代入求出c的值，再由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，

3

2

），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
则函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，
∵A∈[0，

π

2

]，∴2A-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2A-

π

6

）≤1，即

5

2

≤f（A）≤3，
∴当2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，f（A）的最大值为3，
又a=2

3

，c=4，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：12=b²+16-4b，即b²-4b+4=0，
整理得：（b-2）²=0，解得：b=2，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

．

点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．