Question

柳州市积极响应国家提高素质教育的战略构想．某校对评三好学生进行全面改革，制定新的评定细则，按新的评定细则，A、B、C三同学评为三好学生的概率分别为x、

1

2

x、

2

3

x（其中0≤x≤1）．
（1）当x=0.6时，求A、B、C中有两位同学评为三好学生的概率；
（2）求A、B、C中至少一位同学评为三好学生的概率的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得P（A）=0.6，P（B）=0.3，P（C）=0.4．由此求得A、B、C中有两位同学评为三好学生的概率
（2）根据p(x)=1-P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

1 6 (2x3-9x2+13x)

，利用导数求得p（x）在[0，1]上增函数，故当x=1时，p（x）取得最大值为1．

解答：解：（1）设A同学被评为三好学生的概率为P（A），则由题意可得P（A）=0.6，
同理可得，P（B）=

1

2

P（A）=0.3，P（C）=

2

3

P（A）=0.4．
∴A、B、C中有两位同学评为三好学生的概率
P=0.6×0.3×（1-0.4）+0.6×（1-0.3）×0.4+（1-0.6）×0.3×0.4=0.108+0.168+0.048=0.324．
（2）p(x)=1-P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

) 

=1-(1-x)(1- 1 2 x)(1- 2 3 x)

=

1 6 (2x3-9x2+13x)

．
令P′(x)=

1

6

(6x2-18x+13)=0，解得x=

9± 3

6

，故有0≤x≤1＜

9- 3

6

．
∴p（x）在[0，1]上，p'（x）＞0，即 p（x）在[0，1]上增函数，
∴当x=1时，p（x）取得最大值为1．

点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，互斥事件的概率加法公式，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．