Question

（2010•福建模拟）考察等式：

C

0 m

C

r n-m

+

C

1 m

C

r-1 n-m

+…+

C

r m

C

0 n-m

=

C

r n

（*），其中n、m、r∈N^*，r≤m＜n且r≤n-m．某同学用概率论方法证明等式（*）如下：
设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余为正品．现从中随机取出r件产品，
记事件A_k={取到的r件产品中恰有k件次品}，则P(Ak)=

C k m C r-k n-m

C r n

，k=0，1，2，…，r．
显然A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C 0 m C r n-m + C 1 m C r-1 n-m +…+ C r m C 0 n-m

C r n

，
所以

C

0 m

C

r n-m

+

C

1 m

C

r-1 n-m

+…+

C

r m

C

0 n-m

=

C

r n

，即等式（*）成立．
对此，有的同学认为上述证明是正确的，体现了偶然性与必然性的统一；但有的同学对上述证明方法的科学性与严谨性提出质疑．现有以下四个判断：
①等式（*）成立  ②等式（*）不成立  ③证明正确  ④证明不正确
试写出所有正确判断的序号

①③

．

Answer 1

分析：构造概率模型，从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，利用古典概型概率公式求得其概率，根据A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），即可判断．

解答：解：设一批产品共有n件，其中m件是次品，其余n-m件为正品．
现从中随机取出r件产品，记事件A_k={取到的产品中恰有k件次品}，则取到的产品中恰有k件次品共有

C

k m

C

r-k n-m

种情况，又从中随机取出r件产品，共有

C

r n

种情况，k=0，1，…，r，故其概率为P(Ak)=

C k m C r-k n-m

C r n

，k=0，1，…，r．
∵A₀，A₁，…，A_r为互斥事件，且A₀∪A₁∪…∪A_r=Ω（必然事件），
因此1=P（Ω）=P（A₀）+P（A₁）+…P（A_r）=

C 0 m C r n-m + C 1 m C r-1 n-m +…+ C r m C 0 n-m

C r n

，
所以C_m⁰C_n-m^r+C_m¹C_n-m^r-1+…+C_m^rC_n-m⁰=C_n^r，即等式（*）成立．
从而可知正确的序号为：①③
故答案为：①③

点评：本题以概率为依托，证明组合中的等式问题，解题的关键是构造概率模型，利用古典概型的概率公式求概率，题目新颖．