Question

4．函数f（x）=x²+2x+a，f（f（x））=0有三个零点，则a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 利用换元法，结合一元二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：由题意，[f（x）]²+2f（x）+a=0有3个根，
判别式△=0，即4-4a=0，解得a=1，f（x）=-1，x²+2x+1=-1，有2个根，不满足题意；
判别式△＞0，即4-4a＞0，解得a＜1，则
∵f（x）=x²+2x+a=（x+1）²+a-1的最小值为a-1，
∴较大根＞a-1且较小根=a-1，
∴-1-$\sqrt{1-a}$=a-1，
∴a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$
综上，a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：a=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题主要考查函数零点个数的应用，正确分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．