Question

已知函数 ．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，…．（1分）
当a=-时，f′（x）=-，…．（2分）
令f′（x）=0，在[1，e]上得极值点x=2，

x	[1，2）	2	（2，e]
f′（x）	+	0	-
f（x）	增	2ln2-1	减

…．（4分）
∵f（1）=-，f（e）=2-，…．（5分）
f（1）＜f（e），
∴f（x）_max=f（2）=2ln2-1，f（x）_min=f（1）=-．…．（7分）
（Ⅱ）f′（x）=，…．（8分）
①0＜a＜时，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞，
所以f（x）的单调增区间是（0，2），（，+∞），
由f′（x）＜0得2＜x＜，
所以f（x）的单调减区间是（2，）； …．（10分）
②a=时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当f′（2）=0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增； …．（11分）
③当a＞时，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，
所以f（x）的单调增区间是（0，），（2，+∞），
由f′（x）＜0得＜x＜2，
所以f（x）的单调减区间是（，2）．…．（13分）
分析：（Ⅰ）当a=-时，可求得f′（x），令f′（x）=0，可求得极值点，将x的取值情况，f′（x）正负情况及f（x）的增减情况列表，可求得函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）由于2-=，对0＜a＜，a=及a＞时分类讨论，根据f′（x）的正负情况即可得到函数的单调区间．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与分析推理能力，属于难题．